13.07.2021 Ngô Bảo Châu - Perverse sheaves and the fundamental lemma
Tóm tắt ngắn:
- Bài nói chính về việc tính toán các bó perverse sheaves trong đối đồng điều của không gian Hitchin, một vấn đề kỹ thuật phức tạp.
- Các kỹ thuật được đề cập bao gồm lý thuyết perverse sheaves, bic integration, định lý Delinge, và định lý phân giải của Beilinson-Bernstein-Deligne (BBD). Ví dụ cụ thể được đưa ra liên quan đến không gian Hitchin và số điểm trên đa tạp.
- Ứng dụng quan trọng là trong số học, cụ thể là ước lượng số điểm và chứng minh các đẳng thức vết tích. Việc hiểu và tính toán các bó perverse sheaves giúp kiểm soát đối đồng điều của các bó kỳ dị, mở rộng hiểu biết về các đối tượng toán học phức tạp.
- Các phương pháp được mô tả chi tiết bao gồm sử dụng định lý Delinge để ước lượng giá trị riêng và định lý BBD để phân giải các bó perverse sheaves thành các thành phần đơn giản. Quá trình xác định tập support của các bó perverse sheaves cũng được nhấn mạnh.
Tóm tắt chi tiết:
Bài nói chia thành nhiều phần, tập trung vào việc tính toán các bó perverse sheaves trong bối cảnh đối đồng điều của không gian Hitchin.
Phần 1: Giới thiệu vấn đề và khó khăn: Bài nói bắt đầu bằng việc nêu rõ mục tiêu là tính toán các bó perverse sheaves trong không gian Hitchin, nhấn mạnh đây là phần khó nhất về mặt kỹ thuật. Giảng viên chỉ ra rằng mặc dù định nghĩa các đối tượng toán học không quá khó, nhưng việc tính toán lại rất phức tạp, đòi hỏi sử dụng các kỹ thuật như tính toán đối đồng điều Galois. "Có lẽ là cái phần khó nhất trong cái… về mặt kỹ thuật là khó nhất thực ra từ đầu đến giờ chúng ta làm ấy".
Phần 2: Tư tưởng cơ bản và công cụ: Giảng viên trình bày tư tưởng cơ bản là hiểu các bó kỳ dị thông qua các bó không kỳ dị, sử dụng hai công cụ chính: lý thuyết perverse sheaves (trong tuần này) và bic integration (tuần sau). Ý tưởng này được minh họa bằng ví dụ về việc bó kỳ dị bị bao vây bởi các bó không kỳ dị.
Phần 3: Định lý Delinge và ứng dụng: Phần này tập trung vào định lý Delinge, một công cụ mạnh mẽ để ước lượng giá trị riêng của toán tử Frobenius trên đối đồng điều. Giảng viên giải thích tầm quan trọng của định lý này trong việc thiết lập các bất đẳng thức cần thiết cho các tính toán số học. "nghe qua thì nó có vẻ rất là… là định tính thôi nhưng thực ra là một công cụ rất mạnh để… định lượng".
Phần 4: Định lý phân giải của BBD và perverse sheaves: Giảng viên giải thích định lý phân giải của BBD, cho phép phân giải các bó perverse sheaves thành tổng trực tiếp của các bó đơn giản. Ông nhấn mạnh tầm quan trọng của phạm trù abelian perverse sheaves, ổn định dưới toán tử đối ngẫu. "Nếu mà ở trên s là một cái… finite type… thì tồn tại một cái decomposition tổng trực tiếp của những cái simple per shift".
Phần 5: Tính toán tập support và ứng dụng trong không gian Hitchin: Phần này tập trung vào tầm quan trọng của việc xác định tập support của các bó perverse sheaves. Giảng viên chỉ ra rằng việc kiểm soát tập support cho phép mở rộng các đẳng thức từ trường hợp bó không kỳ dị sang trường hợp bó kỳ dị. Ông minh họa bằng ví dụ về hai không gian Hitchin đối ngẫu, và việc sử dụng định lý support để chứng minh các đẳng thức số điểm. "chính là ở đó thì đối đồng điều của thớ nó… biến đổi một cách quan trọng".
Phần 6: Ví dụ về Springer resolution và kết luận: Giảng viên đưa ra ví dụ về Springer resolution, minh họa cách áp dụng lý thuyết perverse sheaves trong lý thuyết biểu diễn hình học. Ông nhấn mạnh tầm quan trọng của việc kiểm soát tập support trong các trường hợp ánh xạ không phải là small map. Cuối cùng, giảng viên tóm tắt các ý tưởng chính và đề cập đến các phương pháp chứng minh phức tạp hơn, sẽ được thảo luận trong các buổi sau.
Tóm lại, bài nói trình bày một vấn đề toán học phức tạp, sử dụng các công cụ và định lý tiên tiến trong hình học đại số và lý thuyết biểu diễn để giải quyết. Tập trung vào việc tính toán các bó perverse sheaves và tầm quan trọng của tập support trong việc mở rộng các kết quả từ trường hợp không kỳ dị sang trường hợp kỳ dị, đặc biệt trong ứng dụng số học và lý thuyết biểu diễn hình học.